Matematikte, tek fonksiyon ve çift fonksiyon, aralarında simetri ilişki bulunan ve toplamaya göre tersleri olan fonksiyonlardır. Matematiksel analizin birçok alanında, özellikle kuvvet serisi ve Fourier serisinde sıkça kullanılır. Kuvvet fonksiyonunun eş kuvvetlerine göre adlandırılır ve şu şartı şağlar: Eğer n çift tam sayı ise, f(x) = x<sup>n</sup>, çift fonksiyon; n tek tam sayı ise, fonksiyon tek fonksiyondur.
Matematikte çiftlik ve teklik kavramları yalnızca, tanım ve değer kümelerinin her ikisinin de toplamaya göre tersleri olan fonksiyonlar için tanımlanır. Buna, abelian grup, tüm halkalar, tüm alanlar ve tüm vektör uzayları dahildir. Örneğin; bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu ve bir vektör değişkeninin karmaşık değerli fonksiyonu çift veya tek olabilir.
f(x), bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu olsun. Eğer aşağıdaki eşitlik, f tanım kümesindeki tüm x ve -x ler için sağlanıyorsa f, çifttir :
$$f(x) = f(-x). ,$$
Geometriksel olarak ifade etmek gerekirse, bir çift fonksiyonun grafiği, y eksenine göre simetriktir. Yani y eksenine göre yansıtıldıktan sonra bile grafiği değişmez.
Çift fonksiyonlara örnek, {{!}}x{{!}}, x<sup>2</sup>, x<sup>4</sup>, cos(x) ve cosh(x). Mutlak degerli ifadelerin tamamı çift fonksiyondur.
f(x), bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu olsun. Eğer aşağıdaki eşitlik, f tanım kümesindeki tüm x ve -x ler için sağlanıyorsa f, tektir :
$$-f(x) = f(-x), ,$$
veya
$$f(x) + f(-x) = 0. ,$$
Geometriksel olarak ifade etmek gerekirse, bir tek fonksiyonun grafiği, orijine göre simetriktir Yani orijine göre 180 derece döndürüldükten sonra bile grafiği değişmez.
Tek fonksiyonlara örnek; x, x<sup>3</sup>, sin(x), sinh(x) ve erf(x).
Tek veya çift fonksiyon, sürekli olsa bile diferansiyellenebilir anlamına gelmez. Örneğin her yerde ayrık fonksiyon çifttir. Fakat hiçbir yerde sürekli değildir. Çiftlik durumu her iki alandada farklı incelenir.
$f{(x)}$, tüm reel sayılarda tanımlı herhangi bir fonksiyon olsun. Bunu, şöyle de sembolize edebiliriz:
$\frac{f{(x)}}{2}+\frac{f{(x)}}{2}+\frac{f{(-x)}}{2}-\frac{f{(-x)}}{2}$.
Tekrar şöyle yazılabilir: $\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2} + \frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}$.
$g{(x)}$, $\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}$ ve $h{(x)}$, $\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}$ olsun.
Burada, şu eşitlik elde edilir: $f{(x)}=g{(x)}+h{(x)}$.
Şimdi, $g{(x)}$, çifttir. $\because g{(-x)}=\frac {f{(-x)}+f{(x)}}{2}=g{(x)}$.
$h{(x)}$, tektir. $\because h{(-x)}=\frac {f{(-x)}-f{(x)}}{2}=-\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}=-h{(x)}$. Q.E.D.
$f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x), ,$
burada
$f_\text{e}(x) = \tfrac12[f(x)+f(-x)]$
çifttir ve
$f_\text{o}(x) = \tfrac12[f(x)-f(-x)]$
tektir. Örneğin; eğer f üstel ise, f<sub>e</sub>, cosh vef<sub>o</sub> sinh olur.
Orijinal kaynak: tek ve çift fonksiyonlar. Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.
Ne Demek sitesindeki bilgiler kullanıcılar vasıtasıyla veya otomatik oluşturulmuştur. Buradaki bilgilerin doğru olduğu garanti edilmez. Düzeltilmesi gereken bilgi olduğunu düşünüyorsanız bizimle iletişime geçiniz. Her türlü görüş, destek ve önerileriniz için iletisim@nedemek.page